二阶滤波器的特性分析
二阶滤波器的重要性不仅仅是在于他们本身,而且还在于他们是构造高阶滤波器的重要组成部分,因此本篇主要学习关于二阶滤波器的理论及其响应的特性。
对于二阶滤波器都可以表示成如下的标准形式,这个标准形式对于下面讨论二阶滤波器的响应是很有理解作用的,其中式中ω0为无阻尼自然频率,N(s)为一个m≤2的多项式。
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H(s)的分母函数有两个极点可以计算出来为
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关于ξ的函数,根轨迹如下图所示,其中有下面的四种情况
1.当ξ>1,极点为实数并且为负数,自然响应是由两个衰减的指数项组成,这别称作为过阻尼。
2.当0<ξ<1,极点为一对共轭复根,可以表示为p1,2=-ξω0±jω0sqr(1-ξ^2),这些极点都位于左半平面,此时称为欠阻尼,欠阻尼状态也是二阶滤波器中经常要保证的状态。
3.当ξ=0,p1,2=±jω0这表明这两个极点恰好都在虚轴上,自然响应式一个恒定不变的未受衰减的正弦信号,他的频率为ω0这也是ω0名称的由来。
4.当ξ<0,极点位于右半平面,响应为发散的,因此滤波器为了保持稳定必须有ξ>0.
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s→jω0可以得到如下的频率响应,其中的Q值将会在滤波器的特性中起到关键性的作用。
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二阶响应,可以高频渐进线的陡峭程度增加了两倍斜率,还能对w/w0=1附近频域的幅度形状调节增加了自由度,在实际应用中,Q值的范围为0.5~100,对于不同的Q值幅度如下图所示,对于低Q值而言,从一条渐近线到另一条的过度时平缓的,对于高Q值,在w/w0=1的附近频带内有|Hlp|>1,这种现象称为峰化。可以证明,在出现峰化之前,Q的最大值是Q=0.707.他响应曲线称为最大平伏或者称为巴特沃兹响应,在巴特沃兹响应中w0的意义与一阶响应情况一致,都代表了-3dB频率,也称作截止频率。
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N(s)对于滤波器的影响是滤波器的性质,下面的几个式子分别为几种不同特性的滤波器的表达式
低通滤波器
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高通滤波器
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带通滤波器
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带阻滤波器
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全通滤波器
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